Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 7 класс

1 А.В. Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 7 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 7 класса / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. М.: Просвещение, 2003»

2 В. С- Из рисунка видно, что отрезки АВ и СD не пересекаются, т.к. они не имеют общих точек. 2. Из рисунка видно, что прямые АВ и СD пересекаются, т.к. они имеют одну общую точку F. 3. M D 2

3 4. N D N точка пересечения прямых АВ и СD. В. С-2. Очевидно, 3 луча. 3

4 2. 6 углов: O, O, O, плюс каждому из них соответствует угол, дополняющий его до O 4

5 2. E M N В. С-3. D = DE E, a = С, т.к. E =, то D = DE E, a = E, т.к. DE >, то D > 2. O = 180 DO, OD = 180 OD, т.к. DO = O, то O = OD 5

6 В. С-4. Если точка К лежит справа от точки N, то MK = MN + NK = 84 мм + 1,15 дм = 8,5 см + 11,5 см = 20 см Если точка К лежит слева от точки N, то т.к. NK > MN KM = KN MN = 11,5 см 8,5 см = 3 см N M m K 2. Случай 1) O = O O = 45 2) O < 90, значит O острый 3) т.к. O = O, то ОС является биссектрисой O 6

7 ' O Случай 2. ' O 1) O = O + O = 135 2) O < 180 и O > 90, значит O тупой 3) т.к. ВO АOС, то ОС не является биссектрисой O В. С-5. Пусть меньший из углов равен x, тогда другой равен 4x. Так как углы смежные, то их сумма равна 180. Получаем уравнение: 4x + x = 180, 5x = 180, x = 36. Значит меньший из углов равен 36, а больший 4 36 =

8 = 1, т.к. они вертикальные, значит 3 = 40. Т.к = 90, то 2 = 50. Т.к. 4 это угол между перпендикулярными прямыми, то 4 = 90. В. С-6. Т.к. МЕР = АВС, то Е и В соответственные, следовательно Е = В = 45. D M E 8

9 2. Р(АВС) = АВ + ВС + СА, а Р(АВD) = + D + D, но D = D, a = D + D, значит Р(АВС) = АВ + ВС + DС + D, а P(D) = + D + D, т.к. ВС > 0, то P() > P(D). В. С-7. Т.к. D = O + OD и = O + O и D =, то O + O = O + OD, но O = O, значит O = OD, O = OD, т.к. они вертикальные. Имеем: ВО = СО, АО = DO, O = OD, значит АОВ = DO по 1-му признаку равенства треугольников. 9

10 2. Т.к. 1 = 2, то АОВ = СОВ, а т.к. АО = СО и ВО общая, то ОВ = СОВ по 1-му признаку, следовательно, АВ = ВС как соответственные стороны. В. С-8. Опустим высоту из точки А. Она будет внешняя для D. h O 10

11 2 Т.к. АВ = ВС, то АВС равнобедренный. ВЕ медиана, проведенная к основанию, значит ВЕ является биссектрисой АВС, значит АВС = 2 АВЕ = 81. Но ВЕ является также и высотой, значит FE = 90. В. С-9. Т.к. АВ = ВС, то А = С, значит АКЕ = СКР по 2-му признаку равенства треугольников. 11

12 2. ВD общая, значит АВD = СВD по 3-му признаку, следовательно, АВD = D, значит ВD биссектриса АВС. В. С-10. АВС = А 1 В 1 С 1 по 3-му признаку, значит ВС = В 1 С 1 и АСВ = А 1 С 1 В 1, следовательно D = D по 1-му признаку, т.к. D = D 1 1 по условию. 1 D 1 D 1 1 В. С-1 ОА, ОВ, ОС, OD суть радиусы, следовательно, они равны. Значит ОАВ = ОСD по 3-му признаку, т.к. = D по условию. 12

13 2. Начертите отрезок произвольной длины и луч произвольного направления. Затем измерьте циркулем длину отрезка и дважды отложите ее на луче от начала. a O a a В. С-12. Нарисуйте два острых угла. Затем проведите окружность произвольного радиуса с центром в точке О, а затем в точке В. Обозначим точку пересечения второй окружности с АВ буквой F. Измерьте циркулем расстояние между точкой пересечения 1- й окружности и сторонами угла MON, а затем проведите таким же радиусом окружность с центром в точке F. После этого проведите луч, соединяющий точку В и точку пересечения 2-й и 3-й окружностей, во внешней области АВС. 13

14 M F N O 2. Нарисуйте прямой угол. Проведите окружность с центром в вершине. Затем проведите еще по окружности тем же радиусом с центрами в точках пересечения 1-й окружности со сторонами угла. Соедините точку их пересечения с вершиной угла. Этот метод подходит не только для прямых углов. Прямой угол строится следующим образом: рисуется отрезок и к нему восстанавливается серединный перпендикуляр как описано в задаче Варианта 1 С В. С-13 1) 1 = 3. Да. Т.к. это внутренние накрест лежащие углы 2) 1 = 4. Да. Т.к. это соответственные углы 3) = 180. Да. Т.к. это внутренние односторонние углы 4) 5 = 6 = 90 Да. См. п

15 2. ВАС = DE, т.к. АВС = СDЕ. Значит АВ СD, т.к. ВАС и DСЕ соответственные углы. В. С-14. Приложите угольник катетом к АС и проведите прямую, перпендикулярную АС и проходящую через точку В. Затем аналогично проведите прямую, перпендикулярную этой и проходящую через точку В. Они будут параллельны АС. Проведите аналогично прямую, параллельную АС и проходящую через точку Р. Они тоже будут параллельны АС и, значит, параллельны первой прямой. 15

16 a D b 2. а b, т.к. сумма внутренних односторонних углов равна 180. Т.к. d пересекает b, то она пересекает и а. Иначе бы через одну точку проходили бы две прямые, параллельные данной. Противоречие. В. С-15. Пусть меньший из углов равен x, тогда другой равен 3x. Значит 3x + x = 4x = 180, следовательно, x = 45. Ответ: 45 и

17 X 3X X 2. EF, значит EF = 90, т.к. EK биссектриса, то EK = 45. K E F В. С-16. a b, т.к. соответственные углы равны, значит 2 = 130, значит 1 = 3 =

18 2. M 1 K 1 = MK, т.к. 1 1, значит M 1 K 1 = MK, т.к. 1 K 1 и K биссектрисы равных углов. Прямые K и 1 K 1 не могут пересекаться, т.к. они параллельны, т.к. соответственные углы равны. В. С-17. Не могут, т.к = Пусть внешний угол равен x. Тогда несмежные с ним равны x 60 и x 50. Т.к. внешний угол равен сумме углов несмежных с ним, то x = 2x 110, x = 110, значит углы треугольника: 50, 60, 70, значит треугольник остроугольный. 18

19 M X X-50 В. С-18. = MPK по 1-му признаку. А т.к. в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, то > D и значит K >. P K M 19

20 2. равнобедренный с основанием АС, значит ВМ не только медиана, но и высота, значит и АМВ = 90. В. С-19. Нельзя, т.к. его основание будет равно 6 см, а это есть сумма 2-х других сторон, т.е. треугольник выродится в отрезок P не может превышать 13 см, значит АВ не больше 26 см. Ответ: не может. P 1 12 E 20

21 В. С-20. D = D + D = 90 и D = 90, значит АВ DС, т.к. сумма внутренних односторонних углов равна А = 90 С = 30. А т.к. катет, лежащий напротив угла 30 равен половине гипотенузы, то аb = 4 см. 1 В. С-2 АО = ОВ (как радиусы). МО = ОЕ по условию. АОМ = ЕОМ как вертикальные, следовательно, АМО = ВЕО, значит АМ = ВЕ. АВD и АD прямоугольные, значит они равны по гипотенузе и острому углу, значит ВАD = САО, следовательно, D биссектриса. 21

22 В. С-22. Опустим из точки А перпендикуляр на b. Назовем его АН. АНС прямоугольный, значит АН <, но АН = ВО, т.к. расстояние между параллельными прямыми всюду одинаково, значит ВО <. 2. Проведем перпендикуляры АН и ВК они и будут искомыми расстояниями. АН = 5 см, т.к. катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы. Аналогично ВК = 4. В. С-23. Очевидно, они описывают прямые, параллельные a и проходящие через точку А и точку В, т.к. расстояние не меняется в процессе движения. 22

23 2. С помощью циркуля и линейки постройте перпендикуляр к ВС. Затем отложите на нем отрезок, равный QP. После этого проведите к нему перпендикуляр так, чтобы расстояние между ВС и этим перпендикуляром было равно QP. Этот перпендикуляр пересечет АВ в некоторой точке. Расстояние от этой точки до ВС будет равно QP по свойству параллельных прямых. В. С-24. Постройте прямую. Отложите на ней дважды длину отрезка МК. Полученный отрезок обозначьте АС. От точки АС проведите луч так, чтобы угол между этим лучом и АС был равен РМК (см. задачу С-12.1). И на этом луче отложите отрезки АВ = МР. Соедините точки В и С. P M K 2. Проведите окружности с центром в концах отрезка так, чтобы они пересекались в двух точках. Соедините эти точки. Теперь вы разделили отрезок пополам. Проведите окружности с центрами в концах любого из половинных отрезков, радиусом, равным длине этого половинного отрезка. Затем соедините точку их пересечения с концами отрезка. 23

24 В. С-25. От произвольной точки В проведите медиану ВD. Затем постройте к ней перпендикулярную прямую, проходящую через точку D. Из точки В проведите окружность радиусом равным гипотенузе. Соедините точки пересечения окружности с перпендикуляром к ВD с точкой В. D D 2. Постройте отрезок АВ равный половине МР (см. задачу С-24.2). Постройте угол F равный РМК (см. задачу С-12.1). Постройте окружность с центром К так, чтобы она пересекала прямую МР в 2-х точках. Полученный отрезок разделите пополам. Соедините его середину с точкой К. Это будет высота КЕ. Постройте точку С так, чтобы она лежала на F и была удалена от АВ на КЕ (см. задачу С-23.2). Соедините С и В. 24

25 P P E M K В. С-26. По теореме о сумме углов треугольника ВАС = 50, т.к. в треугольнике два равных угла, то он равнобедренный. 2. Т.к. ВАС = СВD, то АС ВD, значит они не пересекаются. 3. МОА = СОВ по первому признаку, значит МАО = СВО = МО = ОС, АО общая, но МОА < OС, следовательно, МА <. 25

26 В. 2. С- Нет, т.к. у них нет общих точек. 2.Да, т.к. у них есть одна общая точка. L E F 3. Например, точка А. 4. Нет (см. п.). K 26

27 В. 2. С-2. 1) 3 луча 2) 6 углов: МОN, NOK, MOK плюс еще 3 угла, дополняющие каждый из перечисленных до ) O M N K 27

28 2. a) б) в) а) отрезок АВ. б) отрезок СD. в) отрезок EF.. 2. С-3. ЕК = ЕО + ОК, NL = NO + OL, т.к. ЕО = NO и OK < OL, то EK > NL. 28

29 2. LON = 180 MOL, MOK = 180 KON, т.к. КON = MOL, то LON = MOК. В. 2. С-4. Если точка С лежит справа от АВ, то АС = 5,7 м см = 10 м = 100 дм. Если точка С лежит слева от АВ, то АС = 730 см 5,7 м = 16 дм. a 5,7 м 730 см 2. 1) Если луч ОС лежит во внутренней области угла АОВ, то СОВ = 60, если во внешней, то СОВ = ) в первом случае острым, т.к. 60 < 90, во втором развернутым, т.к. равен ) В первом случае да, т.к. АОС = ВОС = 60, во втором случае нет, т.к. АОС ВОС. 29

30 O O В. 2. С-5. Пусть меньший угол равен х, тогда другой равен х + 40, т.к. они смежные, то 2х + 40 = 180, х = 70. Ответ: 70 и 110. X+40 X 30

31 2. 2 = = 50, 3 = 2 = 50, т.к. это вертикальные углы. 4 = 90 3 = 40. В. 2. С-6. P M 17 см F Т.к. АРС = MF и Р = М, то F = = 17 см 31

32 2. P(DFK) = DF + FK + DK, P(EFK) = EF + FK + DK = ED + DF + FK+ + EK = DK + DF + FK + EK, т.к. ЕК > 0, то P(DFK) < P(EFK). В. 2. С-7. Они как прямоугольные треугольники по двум катетам. 32

33 2. АВD = СВD, т.к. равны углы, дополняющие их до смежных, тогда АВD = СВD по 1-му признаку, значит АDВ = СDВ. В. 2. С-8. E L F K Опустим высоту из точки F на прямую ЕК. Она будет внутренней для EFK и LFK. 33

34 2. АЕВ = ВЕС = 90, значит АВЕ = СВЕ по катету и острому углу. Значит АЕ = ЕС, значит АС = 2АЕ = 20 дм. Т.к. АВЕ = ЕВС, то ЕВС = 2 1 АВС = В. 2. С-9. Т.к. АВС равнобедренный, то А = С, тогда АМО = СРО по 2-му признаку. 34

35 2. АВС = СDА по 3-му признаку, значит ВСА = DАС В. 2. С D 1 D 1 1 АВС = А 1 В 1 С 1 по первому признаку, значит ВС = В 1 С 1, но тогда ВDС = В 1 D 1 С 1 вследствие равенства треугольников. В. 2. С-11 35

36 МО = NO = QO = PO как радиусы, тогда MNO = QPO по 1-му признаку, значит MN = QP. 2. Начертите прямую и отрезок. Проведите окружность с центром на прямой и радиусом, равным длине отрезка. Точки пересечения окружности с отрезком будут искомыми. В. 2. С-12. M F N K 36

37 Нарисуйте острый угол MNK и тупой АВС. Затем проведите окружность с центром в точке N и произвольным радиусом, а затем этим радиусом только с центром в точке В. Обозначим точку пересечения второй окружности с АВ буквой F. Измерьте циркулем расстояние между точками пересечения 1-ой окружности со сторонами угла MNK и проведите этим радиусом окружность с центром в точке F. Затем проведите луч, соединяющий точку В и точку пересечения 2-й и 3-й окружностей, лежащей во внутренней части угла АВС. 2. Разделите каждый из данных отрезков пополам как сказано в задаче Варианта 1 С-24.2 и соедините их середины. В. 2. С-13 1) да, т.к. это внутренние накрест лежащие углы. 37

38 2) да, т.к. это соответственные углы. 3) да, т.к. это внутренние односторонние углы. 4) да, см. пункт Т.к. АВС = СDЕ, САВ = ЕСD, значит АВ СD, т.к. равны соответственные углы. В. 2. С-14. m n D Условие повторяет задачу варианта 1 С

39 2. Условие повторяет задачу варианта 1 С В. 2. С-15. X+64 X Пусть меньший угол равен х, тогда другой равен х + 64, но 2х + 64 = 180 х = 58. Ответ: 58 и

40 2. E M K D F Т.к. СD EF, то MEF = MD = 90, тогда МСК = 90 КСD = 50. В. 2. С = 120 (как вертикальный). 2 = 1 = 120 как внутренние накрест лежащие. 3 = 2 = 120 как вертикальные. 40

41 2. Т.к. DЕ АС, то DЕМ = ЕМС. Т.к. МЕ биссектриса, то DЕМ = МЕС. Т.к. ЕСК внешний, то ЕСК = ЕМС + МЕС = 2 ЕМС, а т.к. N биссектриса, то NK = EN = 2 1 EK = EM = 3 ME, значит МЕ N, значит они не пересекутся. В. 2. С-17. Не могут, т.к , и ни один, ни другой угол не равен X X+30 X-30 Пусть этот угол равен х, тогда х + (х + 30) + (х 30) = 180, значит х = 60, значит остальные углы равны 90 и

42 Ответ: да. В. 2. С-18. P M K АВС = МРК, значит АВ = МР, ВС = РК. Т.к. 60 > 50, то ВС >, значит АВ < РК. 2. E Т.к. углы при основании равны, то АВС равнобедренный, значит СЕ еще и медиана, значит АЕ = ВЕ. В.2. С-19. Нельзя, т.к. сумма двух других сторон будет меньше 8 см. 42

43 2. D 5cм 18см С Не может, т.к. тогда АВ будет меньше 12 см и значит АВ + СВ < 17 см, а АС = 18 см. Противоречие. В. 2. С-20. Из условия задачи невозможно доказать, что АD = СВ. Вероятно, это опечатка и требуется доказать, что АВ СD. Доказательство: СВО = 90 ОСВ = 20, значит АВ СD, т.к. равны внутренние накрест лежащие углы. 43

44 2. С 5 см 10 см? С 1 Рассмотрим СС 1 В: катет равен половине гипотенузы, значит С 1 ВС = 30, значит САВ = 90 С 1 ВС = 60. В. 2. С-2 Т.к. АОD и ОСВ прямоугольные, и АО = ОВ как радиусы и АОD = ВОС как вертикальные, то АОD = ВОС по катету и острому углу, значит АDО = ОСВ. 44

45 2. D С Т.к. АВ общая, то АВС = ВАD по гипотенузе и катету, значит = D. В. 2. С-22. D a H Опустим из точки А на а перпендикуляр АН, тогда АН = D, т.к. А и В равноудалены от А. Рассмотрим АНС. АС гипотенуза, АН катет, значит АН <, следовательно, D <. 45

46 2. K L M H? P x а) КН = 2 1 КР, значит КРМ = 30 б) ML x и ML KP, тогда из MLP ML = 2 1 MP = 10 см, т.к. КРМ = 30. В. 2. С

47 Т.к. при таком движении АВС переходит в равный, то и расстояние от точки С до АВ не меняется, значит точка С описывает прямую, параллельную АВ. 2. F M Проведите окружность с центром в точке М, пересекающую АС в 2- х точках. К полученному отрезку постройте серединный перпендикуляр (задача Вар. 1, С-24.2). Он пройдет через точку М. Проведите окружностьс центром в точке М, пересекающую этот серединный перпендикуляр в 2-х точках. К полученному отрезку проведите серединный перпендикуляр. Он пересечет АВ в некоторой точке F. Точка F искомая. 47

48 В. 2. С-24. P K Нарисуйте прямую. Проведите окружность с центром на ней и радиусом, равным МК. Получим отрезок АВ. Постройте угол А, равный М так, чтобы одна его сторона совпадала с АВ (задача Вар. 1, С-12.1). Аналогично постройте В = К так, чтобы одна из его сторон совпадала с АВ. Точка пересечения 2-х других сторон углов дает 3-ю точку треугольника. Примечание: таких треугольников существует несколько. 2. M Разделите данный отрезок пополам, восставив к нему серединный перпендикуляр (см. Вар. 1, С-24.2). Проведите две окружности с 48

49 центрами в концах полученного отрезка и радиусом, равным длине данного отрезка. Соедините одну из точек их пересечения с их центрами. В. 2. С-25. H Проведите прямую. Выберите на ней произвольную точку и отложите от нее отрезок, равный длине биссектрисы. Назовем его СН. От СН отложите по углу, равному половине данного в каждую полуплоскость так, чтобы их вершины совпадали с точкой С (см. задачу В. 1, С-12.1). Проведите перпендикуляр к СН в точке Н (В. 1, С-24.2). Точки пересечения его со сторонами углов и точкой С дадут искомый треугольник. 2. K M P 49

50 Проведите прямую, отложите на ней отрезок, равный 2МР, обозначьте его АС. Проведите окружность с центром в точке А и радиусом, равным МК. Проведите окружность с центром в точке Р, пересекающую МК в 2-х точках. К полученному отрезку восставьте серединный перпендикуляр (задача Вар. 1, С-24.2), он пройдет через точку Р. Проведите окружность с центром в точке С и радиусом, равным длине этого серединного перпендикуляра. Проведите касательную из точки А к этой окружности. Соедините точку пересечения 1-й окружности с касательной с точками А и С. В. 2. С-26 1) МЕК = 180 МКЕ ЕМК = 70 ЕМК равнобедренный. 2) Т.к. МС EK, то СМЕ = МЕК =

51 3) АЕК = ВКЕ по гипотенузе и острому углу КА = ВЕ. 4) ВЕК = 90 ВКЕ = 20 АЕВ = = 50 МВ > E, т.к. МАВ > ЕМВ, а т.к. ЕВ = АК, то МВ > АК. В. 3. С- 1) D M E В отрезках: АВ, АD, АС, ВD, DС, ВС. 2) Пересекаются в точке В. 51

52 3) Точка D. 4), 5) D M E 52

53 В. 3. С-2. 1) Неразвернутых 12 (если не считать дополняющие их до 360 ). Развернутых 6 (если не считать дополняющие их до 360, хотя они тоже развернутые). 2) 2. M F E 53

54 В. 3. С-3. E Если точка Е лежит слева от точки С, то СЕ = ЕВ СВ = АС СВ = АВ. Если точка Е лежит справа от точки С, то СЕ = ВЕ + СВ = АС + СВ = АС + АС АВ = 2АС АВ. 2. МОС = МОА СОА МОD = МОВ ВОD = МОА СОА = МОС, значит МО биссектриса СОD. В. 3. С-4. 8 дм 7 cм 0,24 м M N Пусть точки А и В лежат, как показано на рисунке, тогда N = N = MN = 2,4 дм + 4 дм = 1,6 дм, а 54

55 N = N + = 4,7 дм. 2. D O 1) Пусть меньший угол равен х, тогда другой 4х, значит х + 4х = 80 х = 16, тогда АОС = 64, а СОВ = 16. 2) Т.к. ОА биссектриса угла DОВ, то АОВ = 2 1 DОВ, значит DОВ = 160, значит он тупой, т.к. 160 > 90. В. 3. С-5. O Т.к. ОА ОВ, то АОВ = 90. Пусть угол ВОС = 2х, тогда 45 + х = 75, значит х= 30 ВОС = 60 АОС =

56 2. X Пусть меньший угол равен х, тогда смежный ему равен 180 х, с другой стороны он равен x, т.е. 180 х = x, 120 = 2 3 х, х = 80. Ответ: 80, 100, 80, 100. В. 3. С-6. Т.к. АВС = АDС, то АВС = АDС = 70, значит МDС = 180 АDС =

57 2. Р(АВС) = АВ + ВС + СА = 3АВ = 36 АВ = 12 (см). Р(АDС) = АС + АD + DС = АС + 2АD = 12+ 2АD = 40 АD = 14 (см) В. 3. С-7. Т.к. ВDС = ВЕА, то ВDЕ равнобедренный ВD = DЕ, ВDА = ВЕС, т.к. равны смежные им D = E PE, E = D DE, т.к. АD = ЕС, то АD = ЕС АВD = СВЕ ВАD = ВСЕ =

58 2. ВАС = ВАD + D = E + D = DE = DE = DE и ВСА = DE МСА = КЕА. В. 3. С-8. АDВ = СDВ по 1-му признаку АВD = DВС и АВ = ВС. Значит, АВС равнобедренный и ВD биссектриса, а значит и высота ВD АС. Т.к. АВС равнобедренный, то ВАС = ВСА. 58

59 2. Т.к. АВ = ВС, то АВС равнобедренный. Т.к. АО = ОС, то ВО медиана, а значит и высота ВОС = 90 ВОК = 45, т.к. ОК биссектриса ВОС АОК = = 135. В. 3. С-9. Т.к. АМ = МС, то АМС равнобедренный МАС = МСА. АD = АЕ DЕ = DС DЕ = ЕС АВD = FE по 2-му признаку АВ = F. 59

60 2. M Пусть К середина АС, тогда ВК АС, т.к. АВС равнобедренный. Аналогично МК АС. Предположим, что ВК не совпадает с МК, тогда к точке К проведены 2 различных перпендикуляра ВК совпадает с МК ВМ проходит через середину АС. В. 3. С-10. D E O Т.к. АВС равнобедренный, то А = С АD = E по 1-му признаку. Т.к. АС общая, значит ОАС = ОСА АОС равнобедренный. 60

61 В. 3. С-1 ОАВ = ОD по 3-му признаку ОЕ = OF как медианы равных треугольников. 2. M a Проведите окружность данного радиуса с центром в точке М. Проведите окружность данного радиуса с центром в одной из точек пересечения 1-ой окружности с прямой а. 61

62 В. 3. С-12. L Проведите окружность с центром в точке В, пересекающую АС в 2-х точках. Проведите серединный перпендикуляр к полученному отрезку (см. задачу Вар. 1, С-24.2). Постройте биссектрису А как описано в задаче Варианта 2, С Точка их пересечения будет искомой. 2. Проведите биссектрису данного угла как описано в задаче Вар. 2, С- 12.2, затем проведите биссектрису половинки данного угла. Затем 1 от данного луча отложите угол, равный данного угла (вы 4 62

63 получили его предыдущим действием) как описано в задаче Вар. 1, С-12. В. 3. С-13. Т.к. АВ = ВС, то А = С = 60 В = = 60 ВСЕ = В + А = 120 ВСD = 60, т.к. СD биссектриса АВ СD, т.к. равны соответственные углы. 2. Проведем АС. АВС = СDА по 3-му признаку ВСА = САD ВС АD, т.к. равны внутренние накрест лежащие углы. 63

64 В. 3.С-14. L a b c Приложите угольник одним катетом к l так, чтобы другой проходил через точку В, и проведите прямую вдоль катета. Затем приложите угольник катетом к этой прямой так, чтобы вершина прямого угла совпадала с точкой В, и проведите прямую вдоль другого катета. Таким образом, вы получили прямую, параллельную l и проходящую через точку В. Проделайте тоже самое для точек А и С. И так, вы получили 3 прямых, параллельных l. Все они параллельны между собой, т.к. параллельны данной прямой. АС пересечет l, т.к. в противном случае через точку А проходили бы 2 прямые, параллельные l, что невозможно. 2. a b, т.к. равны соответственные углы. 64

65 b c, т.к. равны соответственные углы a c. В. 3. С-15. Т.к. МАС = 40, то ВАС = 140 АВС = АСВ= 180 o o 140 = = 20. Т.к. АС ВD, то АВD = 40 СВD = 2 = АВD АВС = O D Т.к. D, то САВ = ВD, АОС = ВОD как вертикальные АОС = ВОD по 2-му признаку. 65

66 В. 3. С-16. a b, т.к. сумма внутренних односторонних углов равна 180 ни один из семи углов не может равняться 20, они могут быть либо 50, либо F D E Проведем через точку С прямую F, параллельную АВ (а значит и DЕ, т.к. АВ DЕ), тогда ВСF =, DF = DE, а ВСD = ВСF + DF = + D. 66

67 В. 3. С Т.к. АВ = ВС, то АВС равнобедренный А = С = o o = = 50. Т.к. АМ и СМ биссектрисы, то 2 МАС = МСА = 25 АМС = = D ВАD = = 88. ВDС = = 100. DВС = = 65 АВС = = 77 ни один из углов не равен 90 АВС не прямоугольный. 67

68 В. 3. С-18. M ВС < ВА и ВС < ВМ, т.к. В АС. ВМ < ВА, т.к. СВМ < СВА 2. E D Т.к. DЕ АС, то D = В, Е = В, но т.к. АВС равнобедренный, то А = В D = Е СDЕ равнобедренный. 68

69 В. 3. С-19. Нет, т.к. тогда они не пересекались бы. 2. D По свойству сторон треугольника D + > D, но D = D D = D + >. 69

70 В. 3. С-20.. ВСА = 90 АВС = 35 ; DСЕ = = 55 ВСD = = 90 ВС DС см АВС = = 30 САВ = = 60 САА 1 = = 30, т.к. АА1 биссектриса САА 1 прямоугольный СА 1 = 2 1 АА1 = 10 см, т.к. САА 1 =

71 В. 3. С-2 D E K P DK = EP по 2-м катетам А = С АВС равнобедренный АВ = ВС D 1 1 D 1 Т.к. АВС = А 1 В 1 С 1, то А = А 1 D = 1 1 D 1 по гипотенузе и острому углу D = 1 D 1. 71

72 В. 3. С D АСD = 45 АDС равнобедренный и АD = DС, но АВ > АD АВ > DС. 2. M N а) Проведем через точку С прямую, перпендикулярную а, тогда она будет перпендикулярна и b. Тогда АСМ = ВСN по гипотенузе и острому углу СМ = N. б) N + M = NM, но NM a и NM b, значит NM расстояние между а и b. 72

73 В. 3. С-23. M N D L K Опустим перпендикуляры L и АК на D. Соединим точки В и К. ВКL = K по катету и гипотенузе А = L = 90 АВ СD. Опустим перпендикуляры АМ и LN на ВС. АМВ = DN по катету и острому углу ( МВА = NL, т.к. АВ D) АВ = СD. 2. P a Q b Постройте два перпендикуляра к а (Вар. 1, С-24.2) и отложите на них от а в одну сторону по отрезку длиной, равной QP. Проведите прямую через полученные концы отрезков. Обозначим ее b. 73

74 Проведите окружность с центром в точке Р и радиусом QP. Точки пересечения этой окружности с прямой и будут искомыми. В. 3. С-24. Постройте угол равный данному (В. 1, С-12.1). Разделите данный отрезок пополам (В. 1, С-24.2) и полученный отрезок отложите от вершины одной из сторон угла. А на другой отрезок равный данному ( тоже от вершины угла). Соедините концы этих отрезков. 2. Постройте отрезок равный основанию. Проведите окружности с центрами в концах этого отрезка и радиусом равным сумме длины основания и разности длин сторон (полагаю, что отрезок, длина которого равна сумме длин двух данных, вы сами сможете построить :) ). Соедините одну из точек пересечения этих окружностей с концами отрезка. В. 3. С-25. Постройте отрезок СВ, равный катету. В точке С проведите к нему перпендикуляр (В.1,С-24.2). Проведите окружность с центром В и радиусом равным медиане. Точка пересечения окружности и 74

75 перпендикуляра будет серединой другого катета. На продолжении этого отрезка за эту точку отложите такой же по длине отрезок и соедините другой его конец с точкой В. 2. Проведите прямую. Отложите от нее угол равный данному (В. С- 12.1). В смежном ему проведите биссектрису (В. 2, С-12.2). Отложите от основания угол, равный половине смежного, два раза так, чтобы вершина одного совпадала с одним концом, а другого с другим концом основания. Точка пересечения других сторон углов даст 3-ю вершину треугольника. В. 3. С-26. 1) Т.к. АD = D = 90, то D, т.к. это внутренние накрест лежащие углы. 2) ВАD = 90 АВD = 30 АD = 2ВD = 8. 4 < D < 12 (следует из условия существования треугольника). 75

76 3) E D Проведем срединную линию KЕ. АК = КD и ЕК АD. Т.к. ЕК D ED равнобедренный, т.к. медиана и высота совпадают DE = E. 76

77 В. 4. С- 6 отрезков: NE, NM, NF, EM, FM, EF. 2. Да, пересекаются в точке F. 3. N, т.к. она лежит на отрезке EF, а А нет. 4. E M N F 77

78 5. E M N F В. 4. С-2. 1) Неразвернутых 6. Развернутых 8. 2) D 78

79 2. D В. 4. С-3. M m МС = АС АМ = МВ АМ = АВ Ответ: равны. 2. ЕОС = СОА ЕОА = СОВ FO = OF, следовательно, являются. 79

80 В. 4. С-4. E P 16 дм M 40 см Q F Пусть точки Q и Р расположены, как показано на рисунке, тогда ЕР 1 1 = МР ЕМ = МР EF = 160 см 120 см = 100 см, а QF = MF MQ = EF MQ = 60 см 40 см = 20 см. Если точки 2 1 лежат наоборот, то ЕР = EF + MP = = 220 (см), 2 1 QF = EF + MQ = 100 (см) F E O 1) АОВ = АОЕ + ЕОВ = 4 АОЕ = 100 АОВ = 25 и ЕОВ = 75. 2) OF = FOE OE = EO OE = 50 острый. 80

81 В. 4. С-5. F K O Т.к. АО ОВ, то АОВ = 90. Пусть F биссектриса OF, тогда OF = FO = 45. Пусть ОК биссектриса СОВ, тогда FOK = 20 FO = = 25 ОВ = 2 КОВ = = 50 СОА = = X 5X Пусть меньший из углов равен 4х, тогда другой равен 5х, значит 4х + 5х = 9х = 180 и х = 20, т.е. один угол 80, а другой

82 В. 4. С-6. ВАD = 180 F = 20. Т.к. АВD = D, то D = D = Р(АВС) = АС + 2АВ = АВ = 42 АВ = 15 (см) Р(ВСD) = 3 АВ = 45 (см). 82

83 В. 4. С-7. ЕВК = ЕСL, т.к. равны смежные им, тогда ВЕК = СЕL по 1- му признаку EL = KE = ) АСВ = 90 ВСD = DE = DE по 1-му признаку АВ = DE. 2) D = E D = E P(D) = + D + D = = DE + D + E = P(DE). 83

84 В. 4. С-8. D = D по 1-му признаку АВ = ВС АВС равнобедренный ВАС = ВСА. Из равенства треугольников следует также, что АВМ = СВМ ВМ биссектриса ВМ медиана АМ = МС. 2. АОМ = = 45 МОВ = 45 (т.к. ОМ биссектриса) ВО АС ВО биссектриса (т.к. АВ = ВС) АВО = СВО. 84

85 В. 4. С-9. Т.к. АВ = ВС то АВС равнобедренный А = С DK = EF по 2-му признаку D = E. 2. D ВН АС, т.к. АВС равнобедренный, то АН = НС. DK, т.к. D равнобедренный, то АК = КС, значит К совпадает с Н D. 85

86 В. 4. С-10. E D По задаче В. 4, С-9.2 D серединный перпендикуляр к АС Е равноудалена от А и от С, т.е. АЕ = ЕС АЕС равнобедренный ЕАС = ЕСА. В. 4. С-1 1 MON = EOF по 3-му признаку (т.к. OM = ON = OE = OF как радиусы) OP = OD как соответствующие высоты равных треугольников. 86

87 2. M R Проведите окружность данного радиуса с центром в точке М. Проведите окружность данного радиуса с центром в одной из точек пересечения окружностей. В. 4. С-12 D M Проведите окружность с центром в точке А, пересекающую ВС в 2- х данных, проведите к полученному отрезку серединный перпендикуляр (задача В. 1, С-24.2). Это будет высота D. Разделите сторону АС пополам (В. 1, С-24.2) и соедините ее середину с точкой В. 87

88 2. Отложите от данного луча угол, равный данному (задача В. 1, С- 12.1). Затем разделите его пополам (задача В. 2, С-12.2) и отложите от другой стороны угла угол, равный половине данного. В. 4. С-13. Т.к. АВ = ВС, то А = ВСА = 30 ВСЕ = 150 DE = = 30 ВА D, т.к. равны соответственные углы. 88

89 2. D O OD = O по 1-му признаку DO = ВО D, т.к. равны внутренние накрест лежащие углы. В. 4. С-14. a l b c Все построения этой задачи условно повторяют построения, приведенные в В. 3, С-14. a, b, c параллельны между собой, т.к. все они параллельны е. Прямая, проведенная через точку А и отличная от а, пересечет все эти прямые (b, c, e), т.к. иначе через одну точку были бы проведены 2 прямые, параллельные данной, что невозможно. 89

90 2. a b, т.к. сумма внутренних односторонних углов равна 180. b c, т.к. равны соответственные углы ( 2 и вертикальный 3) a c. В. 4. С-15. АВС = D = 20, т.к. D. = = 20, т.к. АВ = АС САВ = =

91 Т.к. D, то ВСА = D = D по 1-му признаку. В. 4. С может, например вертикальный обозначенному. 60 нет, т.к. a b. 2. Проведем через точку С прямую F, параллельную АВ и DE, тогда F = = 40, FD = = 50, тогда D = =

92 В. 4. С-17. D D = = 130 D = = 25 2 D = o o 1 1 O = = 15 O = = 78 = O = 156 АВС тупоугольный. 92

93 В. 4. С-18. M ВСА > ВСМ (т.к. МВ < АВ) ВАС < ВМС. АСМ = АСВ МСВ < 90 ВАС МСВ, МС > МВ, т.к. МС наклонная к ВС АМ < МС АСМ < ВАС. 2. D E Т.к. DE А, то D =, как соответственный, но А = В D = DE равнобедренный. 93

94 В. 4. С-19. Не может, т.к. 13 = АО < O + O = 4 + O противоречие. 2. D D < + D, но D = D по 2-му признаку и значит D = DС D < + D. 94

95 В. 4. С-20. ВСА = = 44, DE = = 46 D = = 90 D. 2. С 1? Т.к. в С 1 СВ катет равен половине гипотенузы, то С 1 СВ = 30 С =60 А = 30 F = 150. В. 4. С-2 D E K P 95

96 DK = EP по катету и острому углу А = С АВС равнобедренный АВ = ВС D 1 D 1 1 АВС = А 1 В 1 С 1 А = А 1 В. 4. С-22. M K 50 0 E a P КЕ < МК, т.к. 40 < 50. РМ > МК, т.к. МК перпендикуляр, а РМ наклонная РМ > KE. 96

97 2. а) c b K H АСК = СВН по гипотенузе и острому углу АС = СН б) b c L K H СН = KL, т.к. расстояние между параллельными прямыми всюду одинаково L = KL + = KL + H = 2H 97

98 В. 4. С-23. P M K E АРВ = КВР АВР = КРВ МЕ РК. Аналогично доказывается, что МР КЕ МРЕ = РЕК и МЕР = КРЕ МРК = МЕК. 2. P K M O a Постройте прямую, параллельную а и удаленную от нее на ОР (см. задачу В. 1, С-23.2). Затем проведите окружность с центром в точке А и радиусом КМ. Точки пересечения этой прямой с окружностью будут искомыми. 98

99 В. 4. С-24. Разделите данный отрезок пополам (см. задачу В. 1, С-24.2) и отложите от него углы, равные данным (см. задачу В. 1, С-12.1). Точка пересечения их сторон, не совпадающих с отрезком, даст 3-ю вершину треугольника. 2. Постройте отрезок, равный длине периметра. Проведите окружность с центром в левом его конце радиусом, равным боковой стороне. Проведите окружность того же радиуса с центром в точке пересечения 1-й окружности с отрезком. Часть отрезка вне 2-й окружности равна длине основания. Проведите две окружности радиусом с боковую сторону с центрами в концах основания. Соедините одну из точек их пересечения с концами основания. 99

100 В. 4. С.25. Нарисуйте луч. Отложите от него в одну сторону угол, равный 1-му углу, в другую угол, равный второму (см. задачу В. 1, С-12.1). Проведите окружность радиусом с высоту и с центром в начале луча. В точке пересечения окружности с лучом восставьте перпендикуляр к лучу (см. задачу В. 1, С-24.2). 2. Нарисуйте прямую. Проведите прямую, параллельную ей и удаленную на длину высоты (см. задачу В. 1, С-23.2). От одной из прямых отложите угол, равный данному, в сторону другой прямой (см. задачу В. 1, С-12.1). В точке пересечения восставьте перпендикуляр к секущей (см. задачу С. 1, С-24.2). 100

101 В. 4, С-26. 1) МЕР = МКР по катету и острому углу ЕМР = МРК ЕМ РК. 2) Т.к. угол МЕР = 30, то МР = 2 1 ЕМ = 5 5 < EP < 15 (из условия существования треугольника). 3) M H K D E P Проведем медиану РМК MD PD = DK. Опустим перпендикуляр DH на сторону МК, т.к. DH MP, то DH средняя линия и МН = НК MDK равнобедренный, т.к. его медиана совпадает с высотой MD = DK = 2 1 РК = 2 1 МЕ = 5. Внимание, получено важное утверждение: медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. 101

102 В. 5. С- 2. D две точки. 102

103 3. E пересекаются, перпендикулярны. 4. D Да, например прямая ВС. 103

104 В. 5. С-2. 2 неразвернутых ( АОВ, ВОС. ЕОА, АОС, ВОD, ЕОВ) 2. E 104

105 3. E В. 5. С-3. F D Да, т.к. АС = АВ СВ = D = D. Значит если F середина АВ, то F = F = FD D = F. 2. E E O O Так чтобы АОЕ = ВОС, или ОЕ слева от ОА, или чтобы АОВ = СОЕ, или ОЕ справа от ОС. 105

106 В. 5. С-4. D Пусть координата точки А 0, а координата точки С равна х, тогда координата очки В равна 4х, тогда D = x 4 x = 4 3 x координата середины D равна 8 3 х, а координата середины ВС равна 2,5х расстояние между ними равно 2,5х х = х = 48 х = 17 6 = 102 (дм) х = х, но 4х = 8 E O F D АОВ + СОD = 180 = O + 2 EO + O + 2 OF= = 180 O + EO + OF =

107 В. 5. С-5. АОС = OD. Пусть АОС = х, тогда 2х + OD = O = = OD + 90 x = 45, т.е. АОС = 45 OD = 45 O = N M O С ВОС = МОВ. ON = 90 MO NO = 90 MO ON биссектриса. 107

108 В. 5. С-6. Т.к. D = D D = D D = 2 1 = 55 Т.к. D = 90, то D = 90 (т.к. треугольники равны). 2. E 8 см АВ + ВЕ = ЕС + АС + 2 АВ = АС + 2 = 10 (мм) АВ + ВЕ = ЕС + АС 2 АВ = АС 2 = 6 (см) 108

109 В. 5. С-7. Т.к. АО = ОС, то ОАК = ОСК ВАК = ВСК. АОС равнобедренный АК = КС и АКО = СКО = 90 АВК = СВК по двум катетам. 2. D 1 D АВС = А 1 В 1 С 1 по 1-му признаку АС = А 1 С 1, С = С 1, ВС = В 1 С 1 D = D 1 1 D = 1 D 1 1 по 1-му признаку D = 1 D

110 В. 5. С-8. В общем случае при таких условиях АЕС F, вероятно, в условии просто забыли написать, что F и E, тогда АЕС = F по гипотенузе и катету АЕС = F. 2. E F D Т.к. D равнобедренный, то F биссектриса 2 ЕСА + 2 F = 180 ЕСА + F = 90 E F. 110

111 В. 5. С-9. АЕС = DF по 2-му признаку E = F = 90 F совпадает с ВК и F = E = 10 см. 2. D P Q Q = DP по 3-му признаку DP = Q =

112 В. 5. С-10. ВАО = DO, т.к. равны смежные им ВОА = СОD по катету и острому углу ВО = СО ВОК = СОL по 2-м катетам КВ = L. В. 5. С-1 АОВ = СОD O = OD O = OD АС = ВD 112

113 2. M M M M Проведем окружность с центром в точке М и радиуса а; точки пересечения ее со сторонами угла будут искомыми. Можно получить 0 (расстояние от М у сторон угла больше а), 1 (расстояние от точки М до одной стороны больше а, а до другой равно а), 2 (расстояние от точки М до сторон угла равно а), 3 (расстояние от точки М до одной стороны угла равно а, а до другой меньше а), 4 (расстояние от точки М до обеих сторон угла меньше а) точки пересечения. В. 5. С

114 1) Постройте прямую. Постройте к ней перпендикуляр (В. 1, с-24.2). Постройте биссектрису одного из прямых углов (В. 2, С-12.2). 2) Проведите окружность, она пересечет стороны угла в точке В и С (АВ = ВС). Соедините В и С. Постройте биссектрисы углов СВА и ВСА. Точки их пересечения будут центром окружности, описанной около АВС. Проведите ее. 2. X Y Проведите серединный перпендикуляр к АВ (В. 1, С-24.2). Он пересечет АС в точке Х, а ВС в точке Y. В. 5. С-13. ВСА = ЕАD, т.к. равны смежные им АВС = DEF = D DE, т.к. равны соответственные углы. 114

115 D = D = D + DE = 180 E, т.к. сумма внутренних односторонних углов равна 180. В. 5. С-14. См. задачу В. 1, С

116 2. D a F E Продолжим прямую D до пересечения с ВА в точке F. F = 120 F = 30. И DE = 30 DE а пересечет DE, т.к. иначе через одну точку проходили бы 2 прямые, параллельные данной. В. 5. С-15. Т.к. АВ = ВD и E D, то ВЕ средняя линия АЕ = ЕС ВЕ медиана АВС, а т.к. АВ = ВС, то ВЕ АС D А, т.к. D E. 116

117 2. Проведем D. Т.к. АВ DE, то D = DE D = D по первому признаку ВС = D. Аналогично доказывается, что ВЕ = F. FD = E, т.к. ВЕ F E = FD по 1-му признаку. В. 5. С-16. ED = = 110 DE = = 50 АВС = 50, т.к. АВ D. 117

118 2. E F M Q K FE = EF = x. ME = EM = y, тогда o EF = 180 2x FEM = 2x EFM = 180 2x 2y, т.к. o FM = 180 2y FME = 2y АВ KE и QM, то А = EFM = 180 2x 2y = EK = x + 2y 2y = 2y FK = y, т.е. РС биссектриса С. Аналогично докажем, что F биссектриса В F точка пересечения биссектрис. В. 5. С D

119 o o o o D = ,5 = 52,5 D = 52,5 + 67,5 = 120 o o o D = 90 22,5 = 67,5 2. H O K L Пусть O = x, a OL = y (x + y = 60 ), тогда АОВ = = 180 2х, ВОL = 180 2y, т.к. АОН = ВОН и OL = OL по катету и гипотенузе ( точка О равноудалена от всех вершин, т.к. она лежит на пересечении серединных перпендикуляров) OL = y x = 2(x + y) = 120 > 90 O тупоугольный. В. 5. С-18. D E 119

120 Продлим D на ее длину за точку D. DE = D (по 1-му признаку) ВС = АЕ, САЕ = ВСА, значит АВЕ < ВАЕ в АВЕ ВЕ > E, т.е. 2ВР > ВС. 2. N K D Т.к. D F, то ВСD = FN и FD = D D равнобедренный D =, но D > DK > DK. В. 5. С

121 Продлим ВВ 1 на его длину, как показано на рисунке. АВВ 1 = D 1 по 1-му признаку. D < + D 2 1 = = + D = + 2. D ' Не может, т.к. в этом случае D вырождается в отрезок, что не так, т.к. С = В. 5. С-20. O

122 ОСВ 1 = ВСС 1 и ОВ 1 С = СС 1 В = 90 СВС 1 = В 1 ОС. Аналогично доказывается, что ОАС = ОВС. 2. 3x D x 2x Так как D = 2, то D = 30 = 30 = 2 = 4D D = 4D D = 3D В. 5. С-2 D E DE = DE по 2-м катетам АЕ = ВЕ; Р(АЕС) = 30 = = АЕ + ЕС + СА = АС + ВЕ + СЕ = АС + ВС = АС + 24 АС =

123 2. 1 O 1 Т.к. О АА 1, то О равноудалена от точек В и С. Т.к. О СС 1, то точка О равноудалена от точек В и А точка О равноудалена от точек А и С она лежит на биссектрисе В. В. 5. С-22. Из условия ОАD + OE = 90 DO = 90 OE = OD по катету и острому углу АО = ОЕ АВ = DE, но < DE <. 123

124 2. a K F E x а) Проведем из точки Е перпендикуляр EF к ВС EF = 2 x, т.к. С = 30. x б) ЕК АВ. КВЕ = FE по катету и острому углу КЕ = EF = 2 В. 5.С-23. D, т.к. точки В и С равноудалены от D. Т.к. ОВ = ОС, то ОСВ = ОD OD = OD (т.к. АD ) O = OD = D = D по 1-му признаку. 124

125 2. Постройте 2 прямые, параллельные сторонам данного угла и удаленные от него на расстояние, равное длине данного отрезка (В. 1,С-23.2). Точка их пересечения будет искомой. (Рисунок. 248). В. 5. С Постройте развернутый угол. Отложите от него угол, равный 105 (В.1, С-12.1), а затем от него угол, равный 60. Оставшаяся часть угла равна В треугольника. Постройте АВ и отложите от нее углы

126 2. 1 O 1 Постройте ОВ 1 С по 3-м сторонам. Отложите от стороны ОС угол, равный ОСВ 1 (В.1, С-12.1). Точка пересечения другой его стороны с ОВ будет точка В. От ВВ 1 отложите угол, равный В 1 ВС. Точкой пересечения другой его стороны с В 1 С будет точка А. В. 5. С-25. Проведите прямую. Отложите на ней отрезок, равный одной из сторон. Отложите от него угол, равный данному (В. 1, С-12.1). Проведите окружность с центром в другом конце отрезка и радиусом, равным другой стороне. Соедините этот конец отрезка с полученной точкой пересечения. 126

127 2. Постройте угол, равный данному. Проведите прямую, параллельную одной из его сторон и удаленную от нее на одну из высот, со стороны другой стороны угла (В. 1, С-23.2). Она пересечет эту сторону в точке В. Получите точку С аналогичным способом. Соедините точки С и В. В. 5. С-26. 1) D = D по 3-м сторонам D = D = D = = D ( т.к. АВ = ВС = D = D) D и D. 2) Из 1) ВСТ = DT T = DT по 1-му признаку T = TD. 3) D равнобедренный, АС биссектриса угла D D. Пусть О точка пересечения АС и D. Из равенств треугольников следует, что АО = ОС и ВO = OD, O = OL, 127

128 O > 45, т.к. АВС > 90 и T > T, значит O < 45, O > ВАО O > O и АС > D. 4) Если из точки Т провести перпендикуляры к АВ и D, то получившиеся треугольники будут равны по гипотенузе и катету равны и сами перпендикуляры. В. 6.С- 2. E D 3. может E F 128

129 4. может, O D В. 6.С-2. 8 неразвернутых ( O, O, OD, DOF, FO, OD, OF, DO), 2 развернутых ( АОС, OF)

130 3. Проведите через нее 2 прямые. В 6. С-3. M N Верно, т.к. ВС = АВ + АС = 2АМ + 2АN = 2MN 2. O D O D 130

131 В. 6, С-4. N M D Пусть D = 4x D = 5x = 9x M = 1 2 = 9 2 x DN= 1 2 D = 5 2 x MN = M + D + DN = 5 2 x + 4x x = x 11, но 4x = 12 x = 3 MN = 33 (м). 2. M N O D MO = 1 ( OD O) + O = = В. 6, С-5. O 131

132 O + O 90 = O = 270 O = O = D O E Т.к. O биссектриса OD O = OE D E. В. 6, С-6. Т.к. E = DE E = E, = ED = 90 Т.к. E = E = 7 (см), то = 14 (см) 132

133 2. M 1) + M = + M = + 9 = 9 (см) 2) + M + 3 = + M 21 = + 6 = 15 (см) В обоих случаях существует. В. 6, С-7. OD = OD по 1-му признаку D = D и OD D = D по 2-м катетам. 133

134 2. E E 1 D M F D 1 M 1 F 1 В. 6, С-8. Т.к. E = E E = E. E = DE E = DE = D. 2. O D 134

135 D = D по 3-м сторонам D = D O. Аналогично, OD. OD совпадает с O, т.к. к точке на прямой можно провести только один перпендикуляр. В. 6, С-9. ED = D, т.к. равны смежные им. = DF, т.к. D = F и D общая. = FED по 2-му признаку = FED = 90 высота и = EF = 15 дм. 2. E K L F LE = KF по 3-му признаку LE = LF m = 135

136 В. 6, С-10. = DE т.к. равны смежные им = DE по 2-му признаку = E и = D O = E E = DE по 1- му признаку. В. 6, С-1 O = OD по 3-му признаку OD = O O = OD OD = OD = D. 136

137 2. Проведите окружность с центром в точке M и радиусом, равным b. Она пересечет в одной точке (если расстояние от M до одной из сторон угла равно b, а до другой больше, чем b, или окружность проходит через точку ), или в 2-х точках (расстояние от точки M до сторон угла равно b или до одной стороны меньше, а до другой больше), или в 3-х точках (расстояние от точки M до одной из сторон угла равно b, а до другой меньше или расстояние от точки M до обеих сторон угла меньше b, но окружность проходит через точку ), или в четырех точках (расстояние от точки M до обеих сторон угла меньше b). В. 6, С

138 1) Постройте прямую, постройте к ней перпендикуляр ( ). Проведите биссектрису полученного прямого угла ( ). Обозначим этот угол. 2) Постройте окружность произвольного радиуса с центром в точке. Она пересечет в точке, а в точке F. Постройте окружность того же радиуса с центром в точке F, она пересечет в точке. Соедините точки и. Постройте биссектрисы и. Они пересекутся в точке O центре описанной окружности. Проведите эту окружность. 2. F M N E K Проведите к отрезкам EF и FK серединные перпендикуляры ( ). Полученные точки пересечения будут искомыми. В. 6, С

139 DEF =, т.к. равны смежные им DEF = EFD = EF. 2. E = E = E = E = D D. В. 6, С-14. Нарисуйте треугольник. Постройте середину одной из его сторон ( ). Отложите от этой стороны угол, равный по величине одному из прилежащих к стороне углов, так, чтобы вершина его совпадала с серединой стороны. 139

140 2. Проведем через точку прямую F, параллельную, тогда F = 60 FD = 20 F DE, т.к = 180 если m пересекает DE, то пересечет и, т.к. иначе через одну точку проходили бы две прямые, параллельные данной, что невозможно. В.6, С-15. Т.к. D = DE, то DE = ED, т.к. DE, то DE = E E биссектриса. E = E по 1-му признаку E = = E = 90 E. 140

141 2. D = D по 2-му признаку (т.к. D и D, то D = D и D = D) D = FD = E по 2-му признаку, т.к. =, = D. В. 6, С-16. Т.к. D, то ED = = 30 ED = =

142 2. D M E Дословно повторяет В. 5, С-16. Пусть DM = x MD = x DM = π 2x D = 2x MD = x M биссектриса. Аналогично, M биссектриса, т.к. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то точка M точка пересечения биссектрис. В. 6, С-17. Продлим D, как показано на рисунке, DE = D + D, ED = D + D. Значит D = D + D + = =

143 2. Т.к. D = D, то D = D. Аналогично получаем, что D = D. Значит D = 360 2( D + D) = = = 100. В. 6, С Продлим медиану D на ее длину, как показано на рисунке. Т.к. DE = D, то = E, E =. Т.к. > 2D, то > E E > E = D + D ч.т.д. 143

144 2. E D Т.к. K = D = D = K вследствие параллельности прямых, то K = > E, т.к. ВЕ. В. 6, С D Продлим 1 как показано на рисунке. 1 = D 1 = D < + <. 144

145 2. D E Не может, т.к. E, а E > 0. В. 6, С = 1 + 2, т.к. 1 внешний угол треугольника O. Аналогично, 1 = Тогда = = = O Из треугольников O 1 и O 1 получаем 2 = 90 O, 4 = 90 O = 180 O. 145

146 2. D = 2D Т.к. 2D =, то D = D = 30 1 = 2 = 4 D D = 1 4 D = 3 4D = 3. 4 В. 6, С-2 1 = K D 146

147 KD = KD по катету и острому углу K = K. Р(D) = D + D + = D + D + = + = 45 (см). 2. Пусть O и O биссектрисы внешних углов при вершинах и. Из точки O проведем перпендикуляры OM, OK, OP на прямые,, соответственно. Т.к. точка O лежит на биссектрисе O, то OM = OK. Аналогично OK = OP OM = OP точка O равноудалена от сторон точка O лежит на биссектрисе L. В. 6, С

148 Отложим от луча MP угол EMP, равный OHP. OME = OHP по 2-му признаку OE = OP и HE = MP, но HE > HK HK < MP. Любая наклонная, проведенная к точке M и прямой a, больше MP и, следовательно, больше HK. 2. а) M =, т.к. a, а = M, т.к. a, но =, т.к. M = M все четыре угла равны между собой. = = 180 o 2 1 = M = MK a M = 2 2 = KM MK. В. 6, С

149 Т.к. M и T равноудалены от PK, то PK MT KMT = TPK, TMK = MKP, но KMT = PTM все четыре угла равны MO = OT и OP = OK, т.к. MOT и POK равнобедренные MOP = TOK по 1-му признаку MP = TK и PMO = = KTO PMT = KTM MPK = PKT MPK = TKP по 1-му признаку. 2. Пусть даны прямая a и точка, не лежащая на ней. Построим окружность с центром и радиусом, равным данному отрезку, и прямую b, параллельную a, удаленную от нее на расстояние, равное данному отрезку. Точки и пересечения построенных окружности и прямой будут искомыми. В. 6, С-24. Для построения угла в 15 постройте произвольный равносторонний треугольник и разделите его угол на четыре части. Теперь можно построить по двум его сторонам и углу между ними. 149

150 2. O Нарисуйте прямую. Отложите на ней отрезок O. Проведите окружность с центром O и радиусом O. Проведите к ней касательную. Аналогично постройте точку. Соедините точки и. В. 6, С-25. Постройте 3-й угол треугольника, воспользовавшись тем, что их сумма равна 180. Затем постройте треугольник по стороне и 150

151 прилегающим к ней углам. Задача может не иметь решения, если сумма данных углов не меньше Пусть требуется построить по и высотам 1 и 1. Постройте сначала 1 по катету и противолежащему углу, затем 1 по гипотенузе и катету 1. Точка получается пересечением прямых 1 и 1. В. 6, С

152 1) Из равенства треугольников KTM и KPM, а также треугольников PKT и PMT следует равенство углов, обеспечивающих KT MP, KP TM. 2) KTO = KPO по 1-му признаку TO = OP. 3) Т.к. KO > OM, то KTO > OTM KTM острый, т.к. KTO = 44 TKP тупой TKP > KTM TP > KM. 4) Точка O лежит на биссектрисе TMP точка O равноудалена от его сторон. В. 7, С- шесть, четыре или одну 2. Пятнадцать. M, MN, N, M, N, DF, FE, ED, DM, ME, EN, NF. 152

153 В. 7, С-2. a a E a O D D O E D D E O a E O В. 7, С-3. В первом случае <, т.к. < 2. Во втором случае >, т.к. = + 153

154 2. MON = MO + O + ON = MO + O + MO = = O, т.к. MO = ON, т.к. O = OD, т.к. O = OD. В. 7, С-4. D D Пусть D = x, тогда D = 3x 4x = 14 x = 3,5 (см), т.е. D лежит между и D = 3,5 (см). Пусть D = x, тогда D = 3x = 2x x = 7 (см). Т.е. лежит между и D, D = 7 (см). 154

155 2. O Пусть угол, половина которого равна трети другого, равен 2x, тогда другой равен 90 2x, тогда x = 90 o 2 x 3x = 90 2x 3 5x = 90 x = и 54. В. 7, С

156 = = 180 = В. 7, С-6. O K O = = Пусть = x O = 15 + x Р(O) = x, т.к. O = O. Р() = 50 = + O + O + = x + x = x 156

157 x = 5 Р(O) = 45 (см). В. 7, С-7. O = DO по 1-му признаку = D и O = OD. O = O, т.к. O = O = D M = DM по 1-му признаку (т.к. M = M) M = DM. В. 7, С-8. M P K 157

158 Т.к. равносторонний, то M = P = K и M = P = K и = = MK = PM = KP по 1-му признаку MK = MP = PK MPK равносторонний. В. 7, С-9. а) D E = ED, по 1-му признаку = DE б) 1 M M т.к. = ED, то DE = KE = DE 158

159 DK = EK по 2-му признаку K = KE. В. 7, С-10. На прямых и 1 1 за точки и 1 отложены отрезки E и 1 E 1, соответственно равные и 1 1. Точки E и, E 1 и 1 соединим отрезками, E = E 1 1 1, т.к. = 1 1, = 1 и E = 1 E 1 (E = +, 1 E 1 = ) E = E 1 1 и E = 1 E 1 1 E = E и E = 1 E 1 = 1 1 = по 3-м сторонам D = 1 D 1 как соответствующие медианы равных треугольников. В. 7, С-1 159

160 Т.к. = E = K, то достаточно доказать, что F =. Это следует из того, что F равнобедренный, т.к. его высота является медианой = F, тогда точки, E, K, F лежат на окружности с центром и радиусом. В. 7, С-12. Постройте серединный перпендикуляр к и проведите окружность с центром и радиусом PQ. Точки пересечения серединного перпендикуляра с этой окружностью будут искомыми. Задача может не иметь решения, если PQ меньше расстояния от точки до серединного перпендикуляра к и имеет одно решение, если это расстояние равно PQ. В остальных случаях два решения

161 Постройте угол, равный 162 (54 3 = 162 ). Тогда дополняющий его до 180 равен 18 (54 : 3 = 18 ). В. 7, С-13. Соединим точки и D, ED = FD по 3-м сторонам ED = DF MD = DF MD. В. 7, С-14. = D = DE по 2-м сторонам и углу между ними D = и D = DE D и E D, но через точку можно провести только одну прямую, параллельную D E совпадает с точки, и E лежат на одной прямой. 161

162 2. M D Разделите D пополам и в середине восставьте перпендикуляр. В. 7, С-15. Пусть PK = x, а PE = y. Т.к. KP = P и PE = P, то KP = x, а PE = y. По условию KE MN KM = x и EN = y. Т.к. MN = 180, то 2x + 2y = 180 x + y = 90 KE = 90, т.е. D. 162

163 В. 7, С-16. F D E Продолжим D за точку D и отложим отрезок DE, равный D. Точки и E соединим отрезком; D = DE по 1-му признаку E = E E. Т.к. = 2D, то P = E и E равнобедренный E = E. Т.к. E, то E = E и E = F, значит E = F, т.е. биссектриса DF. В. 7, С-17. На продолжении стороны за точку отметим точку E. E = + >. Но O <, а E < D, значит D > O при любом расположении точек O и P. 163

164 2. Пусть E середина. Т.к. O = O и = и DE = EO, то ED = ED = EO = EO точки D, E, и O лежат на прямой, перпендикулярной к. Пусть OD = x O = 90 x, т.к. O = O. Из треугольников E и OE получаем, что 2 x x =, OE = 90 x, значит DE = (т.к. D 2 2 биссектриса ). Но DE = OE 90 x = 4 x x = 72. Значит углы треугольника: 36, 36, 108. В. 7, С-18. >, т.к. > D > > > D 164

165 из D получаем D > D M 1 Из равенства углов следует, что M = M = M M равноудалена от вершин M точка пересечения биссектрис медиана треугольника совпадает с биссектрисами треугольник равносторонний = 60. В. 7, С-19. O 1 1 Пусть в медианы 1 и 1 пересекаются в точке O O + O 1 > 1 и O + O 1 > 1 O + O 1 + O + O 1 > 165

166 > > 2 1 ( + ). 2. E D Пусть прямая E пересечет в точке D или D, или D не острый. Пусть для окружности это будет угол D. Тогда из D > D, а из E E + E >. Т.к. =, то D < E +, но E < D E < E +. В. 7, С

167 = 90 = 50. Тогда E = 45 E = 45. Значит, E =. С другой стороны, D = 80 и из D D = 50 D = D, значит E = D. Из ED находим, что ED = = 90 = 45 ; ME = 90 ME = 45 ME = M. D = 90 D = 30 D = 2 1 = M D = ME. В. 7, С

168 1 = 1 по 2-м катетам = 1 = 1 по катету и острому углу = = = = = 90 1 = 1 K по 1-му признаку K = = 90 MM 1 1 = MM 1 1 = M 1 M по гипотенузе и острому углу M 1 = 1 = 1. В. 7, С

169 Если предположить, что > 2, то на продолжении за точку можно последовательно отложить отрезки K и KE так, что K = и = E. K = D по 1-му признаку K = 90, а K острый K < K, но E > K, а K > E. Получаем E > E, чего быть не может, т.к. = E, значит неравенство > 2 выполняться не может. 2. Пусть прямая a пересекает в точке K. Пусть E середина M. Проведем M, EP a, EO. MT, MEP, EO равны по гипотенузе и острому углу. Тогда MT = EP = O, но EP = OK, т.к. легко доказать, что EO a, значит K = 2MT, причем K это расстояние до a от точки, а MT расстояние между a и. 169