Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд , при этом функция предполагалась аналитической в точке , а ряд сходящимся в круге .

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд ряд по целым степеням разности . Такой ряд сходится в кольце и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце . Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку ; в частности, — окружность .

Имеют место следующие определения.

1. Ряд коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции .

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при , но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — называется правильной частью ряда Лорана ; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана : или .

3. При . Это — круг с выколотым центром. Точка — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При область есть внешность круга. В частном случае при — внешность круга . Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

Здесь совокупность неотрицательных степеней образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции в ряды Тейлора и Лорана.

Функцию нельзя разложить в ряд по степеням ни в окрестности точки (ряд Тейлора), ни в окрестности точки (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням и , поскольку точки — также точки ветвления. Разложения по степеням , где , возможны.

Функция же раскладывается по степеням и в ряд Тейлора в круге и в ряд Лорана в области (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце . Возможны разложения и по степеням и в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек .

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.

1. Функция, аналитическая в кольце , разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

где — радиус окружности (частный случай контура ), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки и окрестности бесконечно удаленной точки .

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге , разложение элементарной дроби записывается в виде

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга , изложение элементарной дроби записывается в виде

Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

Функция является аналитической всюду, кроме точек и , в частности: в круге , в кольце и в окрестности бесконечно удаленной точки (рис. 3.4).

В круге функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области , т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге — правильная часть. Получаем разложения:

Записываем окончательный результат:

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце .

Чтобы получить разложение в области — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Пример 3.32. Разложить функцию в ряд Лорана: а) по степеням ; б) по степеням .

а) Особыми точками функции являются точки и , причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к (рис. 3.5,а); расстояние между и равно единице, поэтому в круге функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от до другой особой точки равно трем, и в кольце данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням . Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену

Разложение в кольце

Разложение в области

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки . Поэтому разложения по степеням могут быть получены в круге и в вырожденном кольце — в области (рис. 3.5,б). Разложение в круге | — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области

Пример 3.33. Записать разложения функции в окрестностях особых точек.

Особыми точками дроби являются . Решим задачу для каждой особой точки .

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки получено в примере 3.31:

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями .

Запишем разложение в окрестности точки . Расстояние до другой особой точки — проколотая окрестность, которая записывается в виде (рис. 3.6).

В разложении исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все , кроме , и разложение имеет место в области . Второе слагаемое раскладываем в окрестности и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге . Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

Для точки задача решается аналогично (рис. 3.6):

Получаем ответ: — разложение функции в окрестности особой точки . Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции по степеням . Записать разложения в окрестностях особых точек.

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням . окрестности любой конечной точки ; окрестностью будет круг , где — наименьшее из расстояний от точки до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням функция может быть разложена в кольце , где и , а также во внешности круга, т.е. в области (рис. 3.7,а). Если , то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида , так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя , поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь , а именно имеет место равенство

Для разложения дроби по степеням используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности — особой точки.

В случае в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): . Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой , т.е. в области .

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом .

В случае разложения в окрестности главная часть разложения содержит одно слагаемое ; правильная получается от разложения дробей и по степеням .

Найдем эти разложения:

Пример 3.35. Разложить функцию и .

Оба разложения — разложения по степеням и получаются из основного разложения, а именно

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

В случае конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

Пример 3.36. Разложить по степеням функции: а) ; б) . С помощью полученных разложений найти .

Применяем основные разложения для

Таким образом, получаем результат: .

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при равна , а при .

Получаем или . Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

Получен результат: . Отсюда . Результат, как и в случае "а", можно записать в виде асимптотической формулы: .